A.非表示としていただくことが可能です。
以下のCSSを検索結果設置ページの"mf-search.css"の読み込みの後へ追加してください。
-----ココカラ-----
<style type="text/css">
html .mf_finder_searchBox .mf_finder_searchBox_query_input {
background-image: none !important;
}
.mf_finder_logo {
display: none;
}
</style>
-----ココマデ-----
参考：